赌大小基本研究

赌大小是赌场最简单的项目之一。规则简单：庄家掷骰子，玩家猜大小。赢了，获得2倍赌注，输了，赌注交给庄家。简单到和抛硬币一样。

由于每一次掷骰子与前一次掷骰子是无关的。所以，其实每次投出大或者小的概率是不变的。以大=1，小=0来记录，就是p(1)为常数，p(0)=1-p(1)。如果骰子做得很准确，那么p(1)=p(0)=0.5

如果每个人都能够理性的看待这样的问题，赌场就没什么好开的了。

人类是容易“迷信”的，就是说，从一定的观察中总结出一定的规律。观察-总结-提出假设-进行验证。这是科学产生的基本过程。善于总结规律是非常有进化意义的。相信我们基因中已经记录了这样的基本功能。但是，如何进行验证，以什么样的方法来验证，就是需要经过专业科学训练了。

对于赌大小来说，一个简单的策略是这样的，既然p(1)=p(0)=0.5，那么就不应该出现连续的大或者小，1,1,1,1,1。。以后，出现0的可能性就越来越大。不然怎么让概率回到0.5呢。于是，方法是同时观察几个赌桌，看到出现连续多个的大或者小的时候，冲过去下注，下与之前相反的。

问题是，看到连续多少个大或者小的时候才出手下注呢？太少了没意义，太长了有很罕见。于是问题转化成如下：

在0-1随机出现的序列中，连续的0或者连续的1序列的长度是怎样分布的？平均长度是多少？

其实很好算的，

投一次骰子，长度=1

投两次骰子，出现可能出现00，01，10，11。出现长度=2的序列可能性是2/4。

投三次，000，001，010，011，100，101，110，111，出现长度=3的序列，p=2/8.

……

长度=n的序列，其出现的可能P=2/2^n=2^(1-n)

于是平均的长度，就应该等于长度*可能性再加和

l=sum(n*2^(1-n)), n=>Inf

这种简单的计算就交给wolframalpha计算一下就可以了：http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(n*2^(1-n))

结果=4

这个结论很重要哦，当你在赌场看到连续大或者连续小的次数已经超过4次，那么已经超过平均了。

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这种策略真的会赢么？

比如，我们每当看到赌场里面，出现连续5个大或者小的赌桌，就跑过去下注，下相反的大小。那么赢的情况是111110或者000001，也就是p(l=5)=1/16，输的情况是出现连续6个大或者小，p(l=6)=1/32，好像高很多哦。

不过。。

其实输的情况里还要包括p(l=7),p(l=8)...也就是1/32+1/64+1/128...=1/16

哈，还是和赢的可能一样。

还记得“每一次掷骰子与前一次掷骰子是无关的”，所以下一次出现大还是小的概率仍然=0.5

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推广1：是否能够制作出本次掷骰子与上一次掷骰子的结果有关的呢？

我刚想到的一个可行的方法：将骰子1-6面之间钻个圆柱孔，里面填入非牛顿液体，比如沥青、粘弹剂之类，然后再把两面封好。非牛顿液体是有粘滞性的。抛起来以后，不会马上均匀分布，于是会使一面加重，但它又不是固体，总保持在一个面上，于是下一次的结果是和前一次相关的。

推广2：如果庄家使用了特殊的骰子，那么玩家如何发现，并且应对？

1.发现：只要统计连续大或者连续小出现的长度与频率之间的关系即可。

2.应对：手里拿一枚硬币，以抛硬币的结果来决定压大小。这时相当于将玩家猜测庄家的大小，转化成了庄家猜测玩家手里硬币的正反。至少是可以保证玩家是不亏的。

推广3：观察窗

如果只观察大小序列的一部分，比如长度=L，那么长度比L更大的序列不会出现，于是是否会使概率偏向赢的方向呢？随着观察窗的逐渐延长，更多的小概率事件才会暴露出来，将输的概率提高。如果是这样的话，就可能出现玩家一开始玩的时候表现出多赢，随着时间的延长，各种小概率的输局出现，玩家开始输。如果玩家一直保持等量投注也就罢了。但通常而言，赌博这种事情，都是从小到大开始的，赢了就下更多的注，于是在胜率略高的时候，投注较小，而在负率较高的时候投注却大了起来。总和而言就是赔得多了。于是虽然是赌大小并没有对庄家有利，但仍然可以盈利。

这个问题还只是猜测，我还没想太明白。