假如给我三天黑暗

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看到Steed的一篇文章《2012真的会有连续3天地球是黑夜吗？》 辟谣了“科学家终于确定了：2012.12.21地球会有连续3天是黑夜，是地球的换纪时刻。玛雅人說的并不是世界末日，而是" 2012年12月21日的黑夜来临， 12月22日的黎明不會到來"但3天后，差不多是圣诞，白天就会到來! ”的说法。但是作为一名死理性派，我们能够容忍仅仅粉碎一枚谣言吗？我们要算！

出题

• 要求1：找到2012年12月21太阳落山以后连续出现3天黑暗的地点。
• 要求2：如果无法找到满足要求1的城市，则找出2012年某地太阳落山以后连续出现3天黑暗的地点。

工具

地球上最强大的计算器之一：Wolframalpha，这是iPhone 4S里人工智能Siri幕后的大脑。通过www.wolframalpha.com，我们可以计算很多东西，包括你的各种作业。

下面我将一步一步演示如何解决一个问题的思路和方法。不失一般性，这里只展示了北半球的计算过程，南半球的情况请自己推演。

方法

首先查找2012年的冬至日，冬至这个词不知道怎么说，查字典，得到winter solstice，在wolframalpha上查winter solstice in 2012 得到December 21, 2012。考虑到对称性，地球上是不可能有地方满足“要求1：2012年12月21太阳落山以后连续出现3天黑暗的地点”，只能看看2012年有三天极夜的地方是哪里了。

3是个好数字，可以对称的，冬至日算1天，之前之后各自1天，所以就是要找到2012年12月21日，20日，22日三天是极夜，而在2012年12月19日和23日有日出的地方。要获得纬度与日出时间之间的关系，可以通过立体解析几何的方法推导公式，不过还需要考虑到地球绕太阳自转的轨道，想想觉得太复杂了。还是先站在巨人的肩膀上，偷看巨人的答卷好了。

仍然使用wolframalpha，这里需要引入函数式的思维方式，就是说，不一定了解计算过程，只要知道输入和输出即可。

首先测试一下输入是否符合规范，搜索日出sunrise，Wolframalpha给出了今天北京的日出时间，再查查sunrise in dec 21,2012，也有输出是7:34am。这样很好。

再试试不同地点的输入，比如查查莫斯科sunrise in Moscow in dec 21,2012，他们8:59点才天亮啊。由于需要经纬度，所以要测试下带有经纬度的输入，先查查Moscow latitude and longitude得到55° 45'N, 37° 37' 12"E，那么sunrise at 55° 45'N, 37° 37' 12"E in dec 21,2012呢？成功输出。

考虑到北极圈是北纬67.5度，说明冬至日高于此纬度的一定是极夜，看看没有日出的输出是怎样的？查查sunrise at 70N, 0E in dec 21,2012 得到(never rises)

这样一个解决问题的函数基本确定了。它的输入格式是"sunrise at 纬度,经度 in dec 21,2012"，输出是日出时间或者(never rises)。于是找到3天黑暗的问题重述为：

• sunrise at 纬度,经度 in dec 19,2012，有日出，
• sunrise at 纬度,经度 in dec 20,2012，无日出，
• sunrise at 纬度,经度 in dec 22,2012，无日出，
• sunrise at 纬度,经度 in dec 23,2012，有日出。

考虑到北极圈，从67.5N开始找起，发现4个日期点都是极夜。而北纬67.4度满足要求：

• 2012年12月19日，北纬67.4度，东经0度，日出11:51
• 2012年12月20日，北纬67.4度，东经0度，无日出
• 2012年12月22日，北纬67.4度，东经0度，无日出
• 2012年12月23日，北纬67.4度，东经0度，日出11:53

再往下0.1个纬度找找呢？北纬67.3度在2012年12月23日的日出时间是11:36am，看来就是在67.4度附近了。纬度不低于北纬67.3度，不高于67.5度。

在wolframalpha上查到地球的平均半径Earth average radius是6367.5 km，那么0.1个纬度平均是6367.5km (0.1Pi/180)=11.113km。看来我们的范围可以限定在一个宽度为22km左右的带内。已经足够高了。

刚才一直使用的是东经0度，下面再测试不同经度。注意小心国际日期变更线。选择180°W,90°W,0°E,90°E和180°E分别计算四个日期点。结果都是一样的，赞！这可是一个长度为6367.5kmcos(67.4/180pi)=2447km，宽度仅为22km的区域啊。

结果

在北纬67.3度到67.5度之间这个宽度为22km长度为2447km的区域内，有一些地区将会经历且只经历3天极夜。

讨论

拆开黑箱

太阳入射光与地球赤道平面之间的角度，叫做太阳的赤纬(the declination of the Sun)，记做δ☉。太阳赤纬一年中随着季节而变化，夏至时是+23°27'，冬至时为-23°27'。春分和秋分时为0°。

 

凌雲 at the Chinese Wikipedia [GFDL or CC-BY-SA-3.0], from Wikimedia Commons

由于地球绕太阳运转的轨道并不规则，要计算太阳的位置很麻烦，于是人们推出一个模型，叫做平太阳。地球绕平太阳以圆形的轨道匀速运动，转一圈是365天。在1969年Copper提出一个公式用来计算太阳赤纬角:

δ= 23.45 * sin(2pi(284+n)/365)

式中的n是日数，1月1日为n=1，对于闰年n的计算还要再复杂些。

但这个模型太过于简洁，地球毕竟是绕着真太阳在运转。于是真实情况和平太阳的模型是有差别的，历史数据可以通过测量获得。二者之间的误差可以通过实测数据与模型预测数据的差值求出，然后通过傅立叶变换进行外推拟合。通过wolframalpha也可以随时查询当前的太阳赤纬。

1971年Spencer，1976年Stine，1985年Bourges也提出过公式进行拟合，图中显示的是杜春旭等用2009年的数据对各种太阳赤纬的算法进行了误差比较。比较准确的是Bourges的方法：

δ= 0.3723+ 23.2567sin(wt) + 0.1149sin(2wt)-0.1712sin(3wt) - 0.7580cos(wt)+ 0.3656cos(2wt) + 0.0201cos(3wt)

其中

• w=360/365.2422
• t=n-1-n0
• n0=78.801+ [0.2422( year-1969)]- INT[0.25(year-1969)]

如果一个地方纬度是L，那么当地正午时分的太阳高度角e=L+δ，如果e<=0，那么就是太阳一直在地平线之下，也就是极夜了。于是找出2012年某地太阳落山以后连续出现3天不出太阳的问题，转换成了解方程组

• δ(n)+L<=0
• δ(n+3)+L<=0

注意由于只计算3天的极夜，相对于一年365天来说是个非常小的量，于是很小的误差就可能影响我们最终的结果，此时用Copper的简化公式就不合适了，直接查询Wolframalpha反而更准确一些。

继续讨论

即使用Bourges的公式也有问题，因为太阳赤纬只是考虑了太阳向地球照射的角度，但是从地球上的人观察太阳的位置，特别是日出日落时分，还有一个重要影响，就是大气折射。当太阳已经落到地平线之下，由于大气层的折射，仍然可能可以看到太阳的边缘。所以实际的纬度应该要比计算得出的纬度略微高一点。想得更复杂一些的话，其实海拔高度也是会影响日出时间的。

结论

在北纬67.3度到67.5度之间这个宽度约为22km长度约为2447km的区域内，存在一些地区会在2012年12月19日太阳下山以后，经历3天的黑暗，直到12月23日才能看到日出。

那么都会有哪些城市呢？其实在北极圈附近，是有非常多的人类居住的。这个区域覆盖了挪威，瑞典，芬兰，俄罗斯，美国阿拉斯加，加拿大，格陵兰的广大区域。这些地方确实有一些城市，在2012年可以享受到三天黑暗。

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阳性科普

好吧，我承认计算极夜长短这个题目很无聊。我是想借此推广一下“阳性科普”，这只是个概念，这个概念也没有清晰的定义。我个人认为的“阳性科普”，是指多讲一些“世界是什么样子的”，相对而言，阴性科普，就是讲“世界不是什么样子的”。每一个科学传播网站都面临一个诱惑或者我认为的陷阱，就是与不科学的观点辩论和斗争。诚然，这是科普的重要组成部分，但是，在一个有相当多的人类仍然相信一个人可以把海水分开，可以死后复活的星球上，阴性科普是永远不可能“胜利”的，而且时间长久以后，会让我觉得有一点点的厌烦。

因此，我也在自己的twitter和微博里：“求各种科普贴，建议各位推友多做一些各自领域的阳性科普，医推们复习内外妇儿，程序员们讲解些精妙的算法，五毛们讲解马克思主义经典著作，公知们从自由主义解释起，文科生用平直中文说说，理科生不带公式说说……”

医学其实是下游技术，只有上游技术有些进展以后，才可能有所突破，还有就是上游的技术要“流”到下游，被医学界所认知以后，才能用到医学上。我还真是很需要各种领域的科普的。当一个概念科普给我，我还是能够迅速查找相关的文献进行学习。比如上文中，“赤纬”是Steed告诉我的，之前我真的不知道这个概念，不过一旦听说了找到相应的学习资料并非难事。非我技术专业之内的学问，查查维基百科，中文综述，中文文献和博士论文之类，也可以了解大概。确有必要的话，按图索骥找到相应的经典英文文献，也能省不少事情。

函数式的思维方式

上文中的计算方式，是直接调用的wolframalpha。函数式的思维方式，就是我前面所说的“站在巨人的肩膀上，偷看巨人的答案”。把大象放进冰箱需要三步，1）打开冰箱门，2）把大象放进去，3）关上冰箱门。对于解决问题而言，如果每一步都有现成的解决方案，其实并无必要深入到细节中去，即使需要深入到细节，也是逐层次的进入。对于一个过程，了解它的输入、输出，就可以开始应用了。如果原理再了解一些，则可以更准确和灵活的使用。

医学又是如此，绝大多数医生不知道为什么测血压时脉搏的声音会出现变化，但是大家只是知道，if 脉搏声音出现 then 所指压力是收缩压，if 脉搏声音消失 then 所指压力是舒张压。这就是个函数，F(脉搏声音)＝血压。没有医生会在意这个函数与雷诺数之间的关系。

在数学软件出现以后，更可以进行这种函数式的解决问题了。我高二时参加数学建模竞赛的培训，老师列出了一黑板矩阵以后，说取个偏导，然后台下就都偏倒了，一片哀号，这可怎么解啊。那个老师很淡定的说，交给计算机啊，从那以后我才开始接触mathematica，好像当时还是运行在386上的4.0版本，由于缺个协处理器，貌似还有一些东西计算不了。再后来大学学点MatLab，更坚定了我这种思维方式，边缘检测？调函数；傅立叶变换？调函数……

站在巨人肩膀上，我以为就是这样子做。

参考文献

1. Table of the Declination of the Sun: Mean Value for the Four Years of a Leap-Year Cycle
2. 一种高精度太阳位置算法